В 1935 году А.Кулиев знакомится с русским композитором Р.М.Глиэром, которому показал свои первые сочинения для фортепиано - «Песня» и «Восточный танец». Именно по совету Глиэра Ашир поступает в Московскую государственную консерваторию имени П.И.Чайковского, где в 1935-1941 гг. учился на туркменском отделении вместе В.Мухатовым, М.Кулиевой, Х.Аллануровым у педагогов Г.И.Литинского и Б.С.Шехтера.
В 1939 г. Ашир сочинил первое в истории туркменской музыкальной культуры симфоническое произведение - «Торжественная увертюра». В 1944-1949 гг. он продолжил обучение в Московской консерватории по классу композиции у Ю.А.Шапорина. В годы учёбы А.Кулиев написал большое количество песен и романсов на стихи А.С.Пушкина, Б.Кербабаева, К.Бурунова. В числе больших произведений - «Струнный квартет», «Детская сюита для фортепиано», «Поэма для скрипки и фортепиано», «Концерт для гиджака с оркестром» и ряд других.
В годы Великой отечественной войны А.Кулиев работал преподавателем теоретических дисциплин в Ашхабадском государственном музыкальном училище и занимался исследованием творчества П.Сарыева, Т.Суханкулиева, А.Гунибекова, С.Джепбарова, М.Тачмурадова и других. Тогда же А.Кулиев совместно с Б.Шехтером написал оперу «Юсуп и Ахмед», а в соавторстве с Ю.Мейтусом - «Абадан», посвящённые героизму туркменских воинов. В эти произведения органично вплетены самобытные мотивы народной музыки.
Музыка к балету «Сердце, найденное в песках» (1975 г.) стала ярким продолжением героико-патриотической темы в творчестве композитора. Большую известность ему принесли кантаты «Салам», «Курбан-Дурды», «Каракум река», сюиты «Цвети, родной Туркменистан», «Солнечный край», симфоническая поэта «Махтумкули», написанные им в разные годы.
В 1967 году он был избран председателем правления Союза композиторов Туркменской ССР, в 1968 году - секретарём правления Союза композиторов СССР. На протяжении многих лет А.Кулиев занимался педагогической деятельностью в Ашхабадском музыкальном училище им. Д. Овезова и в Туркменской национальной консерватории. Среди его учеников известные композиторы А.Агаджиков, Ч.Нурымов, Н.Халмаммедов, Д.Нурыев, Р.Реджепов и другие.
Ашир Кулиев - составитель и редактор более 20 музыкальных пособий. Автор учебника по сольфеджио на материале туркменской музыки (1959) и «Теории музыки» на туркменском языке, учебника «Гармония» и «Словаря музыкальных терминов на туркменском языке».
Ушёл из жизни выдающийся композитор, популяризатор народной музыки и педагог, внесший огромный вклад в становление и развитие национальной профессиональной школы, в августе 2000 года.